Prostřednictvím pedagogicko-psychologické poradny jsem získala kontakt na základní školu, která mi umožnila práci s dyskalkulickým žákem, Martinem. Zaměřila jsem se na analýzu chyb, kterých se v matematice dopouští a na jejich následnou reedukace.
Ve 2. třídě se u Martina začaly objevovat obtíže ve čtení, psaní a počítání, a proto byl na žádost rodičů a doporučení školy vyšetřen v pedagogicko-psychologické poradně. Bylo zjištěno, že čte výrazně podprůměrně. Čte po slovech, tvary slov odhaduje nebo využívá dvojí čtení. Na stránce se špatně orientuje, text reprodukuje nepřesně, ale dokáže vystihnout podstatu. Má obtíže v rozlišování zrcadlově převrácených figur. Písemný projev je neúhledný, v průběhu psaní se mění velikost a výška písmen, škrtá, přepisuje. Chybuje i v přepisu diktátu. Vynechává písmena, diakritická znaménka, atd. Má potíže v určování i – y po tvrdých a měkkých souhláskách, v aplikaci pravopisných pravidel (vyjmenovaná slova a jim příbuzná). Při psaní je problematická koordinace hrubé i jemné motoriky. Sedá si na paty, klimbá nohama, atd. V matematice není zvládnut přechod přes desítku, počítá po jedné na prstech, malá násobilka není zautomatizovaná (při násobení i dělení počítá násobky postupně), při pamětném počítání zaměňuje matematické operace sčítání a odčítání, potíže má i s písemným počítáním, slovní úlohy řeší s mírnou dopomocí, dopouští se numerických chyb. Problematická je pravolevá orientace, pojmy „před – za“ jsou nezvládnuty (za číslem 19 je 18, před číslem 13 je 14, …).
Závěr speciálněpedagogického vyšetření zní, že u chlapce průměrně nadaného se jedná o specifické vývojové poruchy učení: dyslexii, dysgrafii, dysortografii a operacionální dyskalkulii. Speciálněpedagogická práce vyžaduje individuální péči mimo vyučování 1 – 2krát týdně 30 – 45 minut. Péče by se měla zaměřit na rozvoj početních dovedností (řešení příkladů s přechodem přes desítku, procvičování malé násobilky), ponechat k dispozici názor (prsty, tabulku násobků, přibližně od 5. ročníku je možné pro numerické výpočty používat kalkulačku), v ČJ využívat kratších forem diktátů, doplňovacích cvičení, preferovat ústní zkoušení.
Nyní je Martin žákem 5. třídy. Některé obtíže, které se objevovaly ve 2. třídě se podstatně zlepšily, ale některé přibyly a to vlivem nové narůstající látky v matematice. Pokusila jsem se zjistit, jaké matematická učivo dělá Martinovi potíže. To nebylo až tak náročné. Obtížnější bylo zjistit, jakých postupů užívá k dosažení výsledku. Někdy sám popisoval jednotlivé kroky postupu v počítání, ale většinou ani nevěděl, jak k danému výsledku došel. Pak bylo poměrně problematické najít příčinu jeho špatného postupu. u některých příkladů Martin objasnil, jak postupoval. Některá jeho doslovná zdůvodnění zde uvedu v uvozovkách. u ostatních příkladů se pokusím sama nalézt možný postup, kterým daný příklad počítal. u příkladů nejprve popíšu, jaké se v nich objevovaly chyby a pak objasním, jak jsem postupovala při nápravě a jak jsem příklady procvičovala. Pro přehlednost uvádím v závorce za chybně vypočítaným příkladem správný výsledek úlohy.
Nejprve se zaměřuji na vztahy „před – za“, na pravolevou orientaci, porovnávání a zaokrouhlování čísel. Tyto pojmy se řadí do numerace. Stručně uvádím, že pod pojmem numerace rozumíme vytváření pojmu přirozeného čísla, vytváření skupin o daném počtu prvků, čtení a zápis čísel, porovnávání čísel, zaokrouhlování čísel atd. Zvládnutí numerace je předpokladem pro osvojení znalostí o operacích. Ještě před tím, než jsem přistoupila k jednotlivým typům příkladů, zajímalo mě, jestli s Martinem někdo z rodičů doma počítá. Dozvěděla jsem se, že počítá sám na počítači. Počítačový program, s kterým pracuje, se nazývá KLASIK. Program je zaměřen jak na matematiku, tak na český jazyk. Příklady, které jsou správně vypočítané, počítač zatrhne, chybné příklady ponechá bez zatržení.
5.1 Vztahy „před“ a „hned před“, „za“ a „hned za“
Ve zprávě z pedagogicko-psychologické poradny je uvedeno, že pojmy „před – za“ Martin nezvládá.
Do sešitu, který byl určen pro tuto hodinu, jsem napsala za sebou čísla 15, 16, 17. Na otázku, jaké číslo je napsáno hned před číslem 16, odpověděl číslo 17 (15). v následující hodině jsem mu zadala úkol, aby správně doplnil mřížky (obr. 11) (příloha 11).
Doplnil je bezchybně. Na otázku, jaké číslo je hned před číslem 17, odpověděl číslo 18 (16). Potom, co jsem mu řekla, ať se nad tím zamyslí, odpověděl číslo 17 (16), ne, číslo 16. Na otázku, jaké číslo je hned za číslem 69, odpověděl číslo 70?, ne, číslo 68.
Je možné, že Martin nechápe význam pojmů „před – za“ ani vzhledem ke své osobě. Pokládala jsem mu otázky. Co je za tebou? Co je před tebou? Martin na ně odpovídal dobře. z toho vyplývá, že se neorientuje pouze v číselné řadě.
obr. 11 |
Následně jsem na lavici rozmístila kartičky s čísly lícem dolů (příloha 26). Martin otočil kartičku s číslem 48 a já kartičku s číslem 52. Měl říct, kam má číslo 52 dát, jestli před číslo 48 nebo za něj. Postupně jsme otáčeli další kartičky a z nich vyšla řada čísel 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53. Martin ji uspořádal bezchybně, nedokázal však určit, jestli např. číslo 50 leží před číslem 48 nebo za ním. Na otázku, jaké číslo je hned za číslem 46, odpověděl číslo 45 (47), což je chybná odpověď.
Pomůcka: Číslo hned před daným číslem je o jednu menší a číslo hned za daným číslem je o jednu větší. Při neustálém opakování pomůcky odpovídal správně. Když jsem ji přestala opakovat, odpovídal chybně (hádal). V další hodině s těmito pojmy neměl problémy. Na otázku, jaké číslo je hned za čísle 64, odpověděl 65. a hned za číslem 65 odpověděl 66 a za číslem 66 odpověděl 67. Napsala jsem číslo 31. Napsat číslo, které je před číslem 31 a za číslem 31, se mu podařilo dobře.
Závěr: Martin nechápe význam pojmů „před“ a „hned před“, „za“ a „hned za“ v řadě čísel. Pokud jsem mu tyto pojmy předem objasnila, na položené otázky odpovídal dobře, ale když jsem ho s těmito pojmy předem neseznámila, nebyl si se svými odpověďmi jistý a hádal.
Připravila jsem si dvojciferná a trojciferná čísla, které jsem Martinovi diktovala. 42, 548, 654, 39, 731,938, 79, 28, 401, 500, 695, 969, 965, 456, 893. Chtěla jsem zjistit, zda mu nečiní potíže zápis čísel v desítkové soustavě. Jestli je schopen zápisu čísel podle diktátu, zápisu číslic v čísle ve správném pořadí, zda zapisuje číslice správně atd.
Závěr: Zápis čísel v desítkové soustavě zvládá, přestože v pedagogicko-psychologické poradně byla diagnostikována problematická PLO.
5.3 Zaokrouhlování přirozených čísel
a) Martinovi jsem zadala úkol. Zaokrouhli tato čísla na desítky.
|
42 @ 40 |
124 @ 120 |
|
35 @ 40 |
256 @ 260 |
|
68 @ 70 |
|
Zaokrouhlování bylo bezchybné.
b) O několik dnů později paní učitelka zadala dětem písemnou práci, kde se objevil úkol: Zaokrouhli dané číslo 19 083 576
1) na stovky 19 084 000 (19 083 600)
Místo na stovky zaokrouhloval na tisíce.
2) na desetitisíce 19 070 000 (19 080 000)
Číslo 3 zaokrouhluje dolů tak, že snižuje předchozí číslo o jednu.
Problém: Projevila se porucha v chápání poziční desítkové soustavy.
c) V návaznosti na písemnou práci jsme s Martinem procvičovali další příklady.
5.3.1 Zaokrouhlování na desítky
– zaokrouhlování dolů
V následujících příkladech snižuje předcházející číslo o jednu.
|
42 @ 30 (40) |
74 @ 60 (70) |
124 @ 110 (120) |
6 728 592 @ 6 728 580 (6 728 590) „Zaokrouhlování se řídí číslem 2 a to se zaokrouhluje dolů.“
Vysvětlení: Čísla 1, 2, 3, 4 sice zaokrouhlujeme dolů, ale číslo před nimi nesnižujeme o jednu, to zůstává stejné.
6 128 592 zaokrouhleno na miliony je 5 000 000, pak se opravil na 6 000 000
9 426 211 na miliony je 9 000 000
– zaokrouhlování
nahoru
35 @ 40
68 @ 70
256 @ 260
6 728 592 @ 6 728 600 (6 728 590)
Domníval se, že do řádu desítek patří číslo 5, které je v řádu stovek. Společně jsme řád desítek našli odpočítáním řádů zprava doleva.
5.3.2 Zaokrouhlování na tisíce
842 265 @ 840 000 (842 000)
Zaokrouhloval na desetitisíce.
7 892 378 @ 7 892 000
Závěr: Martinovi pravděpodobně připadá logické, když čísla 5, 6, 7, 8, 9 zaokrouhlujeme nahoru a řád před nimi zvětšujeme o jednu, tak se u čísel 1, 2, 3, 4, která zaokrouhlujeme dolů, musí řád před nimi o jednu snižovat. Po vysvětlení se na toto pravidlo soustředil, a když udělal chybu, sám si ji ještě před mým upozorněním uvědomil. Porucha v chápání poziční desítkové soustavy se objevovala neustále. Domnívám se, že to byl důsledek únavy, nepozornosti nebo vliv nedostatečné výuky. Bohužel nevím, jak bylo učivo vysvětleno.
5.4 Porovnávání přirozených čísel pomocí zápisu v desítkové soustavě
Tvrdil, že je to jednoduché a opravdu tomu tak bylo. Velice rychle a správně dokázal znaménka <, >, = položit mezi čísla na kartičkách (obr. 12) (příloha 15).
obr. 12 |
5.5 Sčítání
Nyní se dostáváme k základním matematickým operacím (sčítání, odčítání, násobení, dělení). Řešení matematických operací je pro řadu dětí poměrně složitým procesem, a proto musí být vyvozeny a upevněny velmi pečlivě.
5.5.1 Sčítání v oboru do dvaceti s přechodem přes základ 10
Domino sčítání (obr. 13) (příloha 16)
Pomůcky: Kartičky jsou rozdělené čarou, na jedné polovině se nachází příklad a na druhé součet jiného příkladu. Martin musel k příkladům najít správné výsledky a přiložit je k sobě.
obr. 13 |
8 + 9 = 17 počítá: číslo 8 rozloží na 6 a 2, 9 + 6 = 15 a 15 + 2 = 17
Následně jsem zadala stejný příklad se zaměněnými sčítanci.
9 + 8 = 17 počítá: 9 + 9 = 18 a 18 – 1 = 17
8 + 7 = 15 počítá: 8 + 8 = 16 a 16 – 1 = 15
4 + 8 = 12 počítá : číslo 4 rozloží na 2 a 2, 8 + 2 = 10 a 10 + 2 = 12
V návaznosti obdržel příklad s přehozenými sčítanci 8 + 4. Neměl problémy s výpočtem.
Závěr: Domino Martin sestavil správně, i když u některých příkladů dlouho přemýšlel. Jeho pomalé tempo při počítání bylo pravděpodobně způsobeno nepochopením funkčnosti rozkladu při sčítání s přechodem. I přes to používá logické vztahy. To svědčí o obecnějším chápání sčítání v některých případech. Opírá se o spoje, kde jsou si rovni sčítanci.
0 + 3 = 0 (3)
0 + 12 = 0 (12)
5 + 0 = 0 (5)
24 + 0 = 0 (24)
Problém: Nechápe význam čísla 0 při operaci sčítání.
Vysvětlení: Já mám 0 bonbónů a ty máš 3 bonbóny. Kolik jich máme dohromady? Odpověděl 3 bonbóny. Tím jsme došli společnými silami k příkladu 0 + 3 = 3. Za úspěch považuji Martinovo samostatné zjištění, že ostatní příklady vypočítal také chybně.
0 + 6 = 6
65 + 0 = 65
0 + 12 = 12
Po týdnu opět dělal v těchto příkladech chybu.
3 + 0 = 0 (3)
0 + 12 = 0 (12)
Závěr: Po vysvětlení na konkrétním případu s bonbóny Martin počítal dobře. Po týdnu opět dělal tytéž chyby. Došla jsem k závěru, že nechápe význam čísla 0 při operaci sčítání. Pravděpodobně zde dochází k záměně s násobením nulou. Zřejmě nebyl dostatečně vysvětlen význam nuly při operaci sčítání.
5.5.3 Sčítání dvojciferného čísla s jednociferným s přechodem přes základ
78 + 6 = 84 počítá: 8 + 6 = 14 (v duchu si ukáže 8 prstů a 6 prstů počítá po jedné)
64 + 9 = 73
27 + 6 = 33
57 + 8 = 65
76 + 8 = 68 (84) Došlo k záměně operace, počítá 76 – 8.
34 + 7 = 41
Závěr: Příklady je schopen vypočítat bezchybně, chybu většinou udělá z nepozornosti, ale znovu se zde odráží nepochopení funkčnosti rozkladu při sčítání s přechodem.
– bez přechodu přes základ
|
125 × 42 350 569 6040 |
(167) |
|
|
Problém: Jednotkami druhého z činitelů (číslo 2) vynásobil jednotky a desítky prvního z činitelů a řád stovek sečetl nebo zde byl uplatněn nadbytečný přechod. Druhý řádek sčítal. Příklad počítal z poloviny jako násobení. Došlo zde k přenosu algoritmu násobení, což mohlo způsobit současné probírání této látky.
Řekla jsem Martinovi, jestli je možné, aby sečtením těchto dvou čísel vyšlo tak velké číslo. Odpověděl, že ne a počítal znovu.
|
125 42 167 |
|
|
|
Sečetl dobře, ale chtěl počítat další řádek jako u násobení.
Vysvětlení: Sčítáš čísla, která jsou pod sebou (jednotky s jednotkami, desítky s desítkami, …).
|
207 21 228 |
575 324 899 |
8753 134 8887 |
2463 4516 6979 |
– s přechodem přes základ
|
128 96 124 |
(224) Nepřičetl jednu desítku ke stovkám. |
Problém : Nechápe přechod mezi desítkami a stovkami.
Upozornila jsem ho na přechodem přes desítku, na správný postup.
|
356 437 793 |
496 378 874 |
955 268 1223 |
|
|
101 84 105 |
(185) Počítá 0 + 8 = 0. |
|
|
Závěr: Po určité době Martin zapomíná postup, jakým se příklad počítá. Po jeho zopakování si ho připomene a počítá dobře.
– pamětné a písemné sčítání
Pyramidy (obr. 14) (příloha 5)
Pomůcky: Předkreslená schémata pyramid.
V dolní části pyramidy jsou zapsaná čísla. Každou dvojici sousedních čísel sečteme a jejich součet zapíšeme do čtverečku nad nimi. Ve sčítání pokračujeme tak dlouho, dokud není pyramida postavená.
|
|
obr. 14 |
Závěr: S pamětným sčítáním a s algoritmem písemného sčítání Martin neměl problémy. Hra zvýšila jeho pozornost.
5.6.1 Odčítání v oboru do dvaceti s přechodem přes základ 10
|
14 – 9 = 5 |
12 – 9 = 3 |
|
16 – 7 = 9 |
15 – 7 = 8 |
Problém: Při počítání zpaměti si představuje prsty a odpočítává je po jedné. Nechápe funkčnost rozkladu při operaci odčítání.
Domino odčítání (obr. 15) (příloha 17)
Pomůcky: Kartičky jsou rozdělené čarou, na jedné polovině se nachází příklad a na druhé rozdíl jiného příkladu. Martin musel k příkladům najít správné výsledky a přiložit je k sobě.
obr. 15 |
Závěr: Domino Martin sestavil správně, ale u některých příkladů dlouho přemýšlel. Pomalé tempo je pravděpodobně způsobeno nepochopením funkčnosti rozkladu při odčítání s přechodem.
6 – 0 = 0 (6)
8 – 0 = 0 (8)
37 – 0 = 0 (37)
Problém: Nechápe význam čísla 0 při operaci odčítání.
Vysvětlení: Položila jsem 6 bonbónů na lavici. Když od šesti bonbónů odeberu 0 bonbónů, kolik jich zbyde? Tak jsme dospěli k příkladu 6 – 0 = 6. Martin samostatně přišel na chybu v ostatních příkladech.
7 – 0 = 7
4 – 0 = 4
V následujících hodinách podobné příklady počítal opět chybně.
5 – 0 = 0 (5)
11 – 0 = 0 (11)
Závěr: Nebylo v mých možnostech zjistit, jestli to je chyba zapříčiněná dyskalkulií nebo nesprávným vysvětlením při prvním setkání se s učivem. Také může jít o transfer z násobení.
5.6.3 Odčítání jednociferného čísla od dvojciferného s přechodem přes základ
|
37 – 9 = 28 |
45 – 7 = 38 |
23 – 9 = 14 |
|
64 – 6 = 58 |
82 – 5 = 77 |
|
Závěr: Opět se zde odráží nepochopení funkčnosti rozkladu při odčítání s přechodem. Martin si v duchu představuje prsty a odpočítává je po jedné.
Zadala jsem příklady:
– bez přechodu přes základ
|
58 – 32 26 |
zk.: 26 32 80 |
(58) |
|
Martin postupoval správně, ale při zkoušce udělal numerickou chybu 2 + 6 = 10 (8). Na základě zjištění, že mu zkouška nevychází, počítal celý příklad znovu. Sám došel k závěru, že udělal chybu ve zkoušce.
|
84 – 33 51 |
zk.: 51 33 84 |
47 – 25 22 |
zk.: 22 25 47 |
|
398 – 46 352 |
zk.: 352 46 398 |
|
|
- s přechodem přes základ
|
63 – 27 76 |
(36) |
zk.: 76 27 103 |
(63) |
Problém: Půl příkladu sčítá a půl odčítá. Zpočátku počítal dobře (7 a kolik je 13), pak počítal nejprve 2 a kolik je 6, to je 4, 4 + 2 = 6, 6 a 1 je 7.
Vysvětlení: Nikdy nesmíš zapomenout přičíst desítky. „Drž si je na palci“.
|
73 – 69 04 |
zk.: 4 69 73 |
275 – 46 229 |
zk.: 229 46 275 |
|
431 – 59 472 |
(372) Nepřičetl jednu desítku ke stovkám. |
||
|
91 – 36 65 |
(55) |
zk.: 65 36 91 |
(101) |
Nepřičetl jednu desítku k desítkám. u zkoušky tuto chybu opakoval.
Závěr: Nechápe přechod mezi jednotkami a desítkami v algoritmu písemného sčítání a odčítání.. Objevuje se zde stejný problém jako u písemného sčítání. Když podobné příklady po určitou dobu nepočítá, zapomíná jejich postup.
– písemné odčítání
Věž (obr. 16) (příloha 8)
|
obr. 16 |
Pomůcky: Předkreslená schémata věží.
Do střechy věže napíšeme libovolné trojciferné číslo (každá cifra jiné hodnoty). z nich utvoříme největší a nejmenší číslo a odečteme je od sebe. z číslic rozdílu opět vytvoříme největší a nejmenší číslo. Čísla od sebe odečteme.
U první věže jsem výchozí číslo (576) zadala sama. Martin správně určil největší (765) a nejmenší (567) číslo.
|
765 – 567 2 |
(198) Záměna operací. |
Po upozornění, že se jedná o příklad na sčítání, počítal dobře.
V ostatních věžích si volil výchozí čísla sám. u rozdílu (číslo 198) určil za největší číslo 891, po mém zaváhání se opravil na číslo 981.
|
531 – 135 386 |
(396) Početní chyba při odčítání řádu desítek. |
Závěr: Martin si neosvojil algoritmus písemného odčítání. Chyby, kterých se dopouští jsou převážně způsobené nesoustředěností. Přiznal se mi, že ho tato hra nebaví. Očividně v počítání spěchal a to je také důvodem chybných výpočtů.
– pamětné sčítání a odčítání dvojciferného čísla
s jednociferným
Utajený obrázek (obrázek 17) (příloha 1)
Pomůcky: Schéma se čtvercovou sítí (10 x 10), příklady.
|
obr. 17
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Žák vypočítá všechny příklady. Výsledky těchto příkladů spojuje po řadě čarami ve čtvercové síti. Pokud jsou příklady správně vypočítané, vznikne z těchto spojených čar obrázek.
11 – 5 = 8 (6)
18 + 6 = 23 (24)
58 + 6 = 63 (64)
87 + 9 = 16 (96) Sečetl pouze jednotky, na desítky zapomněl.
Závěr: Chyby, kterých se Martin dopouští, jsou způsobeny nepochopením funkčnosti rozkladu při sčítání a odčítání. Podílí se na nich z velké části i jeho nepozornost.
Domečky (obr. 18) (příloha 7)
Pomůcky: Nakreslená schémata domečků.
Martinovi jsem vyprávěla, že v domečku spolu začala bydlet dvě čísla. Na půdě se zabydlel rozdíl těchto čísel a ve sklepě součet těchto čísel. Součet a rozdíl se po nějakém čase rozhodli přestěhovat a postavili si svůj vlastní domeček. a u nich se brzy zase zabydlel jejich součet a rozdíl a tak to pokračovalo pořád dál.
|
|
obr. 18 |
|
128 – 96 132 |
(32) Nepřičetl jednu desítku ke stovkám. |
Závěr: Kromě jedné chyby Martin vyřešil příklady správně. Počítání se mu zdálo nezábavné.
Pomůcky: knoflíky a zásobník na led (7 ´ 3)
Zadala jsem úkol:
Vypočítej kolik je v zásobníku čtverečků bez počítání po jedné. Martin odpověděl 3 ´ 7 = 21. Jak to vypočítáš jinak? Představ si, že neumíš násobit. Nevěděl. Mohli bychom použít sčítání? Příklad jsem musela vyslovit sama. 7 + 7 + 7 = 21 Zeptala jsem se, jestli bychom mohli kromě „sedmiček“ sčítat i jiná čísla, pokud se jedná o příklad 3 ´ 7. Výraz v jeho obličeji napovídal, že nemá tušení. Proto jsem mu pomohla 3 +. Dořekl sám 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21. Vrátila jsem se k příkladu 7 + 7 + 7 = 21. Položila jsem Martinovi otázku, jestli bychom příklad mohli počítat jiným způsobem. Martin nevěděl jak. Řekla jsem 3 ´ 7, protože číslo 7 je v příkladu napsáno třikrát. Následně jsem zadala příklad 2 + 2 + 2 = 6. Přemýšlel a pak odpověděl 6 ´ 2. Pravděpodobně počítal: 2 + 2 + 2 = 6 a výsledek vynásobil 2.
V následující hodině jsem Martinovi zadala stejný úkol. Jak bychom mohli příklad 2 + 2 + 2 = 6 počítat ještě jinak? Martin odpověděl stejně jako minule 6 ´ 2. Teď jsem si nebyla jistá, jestli chápe pojem „n – krát“, proto jsem řekla: 3krát zatleskej, 4krát zadupej. s tím neměl žádné problémy.
Vysvětlení: Opět jsme se vrátili ke stejnému příkladu 2 + 2 + 2 = 6. Řekni, kolikrát je tam číslo 2 napsáno? „Třikrát“. z toho Martin dokázal vyvodit příklad 3 ´ 2 = 6. Pak jsem mu dávala příklady podobného typu 4 + 4 = 8 z toho 2 ´ 4 = 8, 6 + 6 + 6 + 6 = 24 z toho 4 ´ 6 = 24.
Závěr: Neustále jsme vycházeli z názoru a vše jsme zapisovali do sešitu. Zjistila jsem, že Martin těžce chápe vyvození násobení, souvislost mezi násobením a sčítáním mu není jasná. Po vysvětlení byl schopen samostatně určit správný příklad. Domnívám se však, že příklady vytvářel automaticky podle těch předchozích.
Martinovi jsem říkala příklady a on je měl zpaměti počítat.
|
6 ´ 7 = 32, 36 (42) |
7 ´ 8 = 42 (56) |
Závěr: V případě, kdy se jednalo o příklady s násobky menších čísel (1, 2, 3, 4) Martin počítal rychle, u příkladů s násobky větších čísel (5, 6, 7, 8, 9) dlouho přemýšlel a výsledky hádal. Při počítání se dívá na prsty a násobky počítá postupně.
Zadala jsem úkol:
Napiš násobky sedmi.
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
Závěr: Psal pomalu, musel hodně přemýšlet a násobky od čísla 35 odpočítával po jedné na prstech.
5.7.3 Procvičování malé násobilky
Loto (obr. 19) (příloha 18)
Pomůcky: Tabulka s příklady, kartičky s výsledky, které společně tvoří obrázek.
Danou tabulku s příklady pokrýváme kartičkami s výsledky a to tak, že na každý příklad položíme kartičku se správným výsledkem. Po pokrytí celé tabulky kartičky s výsledky otočíme. Pokud byly příklady správně vypočítané, vznikne celistvý obrázek.
obr. 19 |
Nejprve na příklad váhavě položil výsledek s číslem 35.
7 ´ 8 = 35 (56)
Následně na řádku pod příkladem uviděl 5 ´ 7. Pochopil, že příklad 7 ´ 8 musí mít jiný výsledek. Začal odpočítávat po násobcích čísla 7.
9 ´ 7 = 54 (63)
9 ´ 6 = 63 (54)
Po otočení výsledků nebyl obrázek správně sestaven. Martin znovu přepočítal chybné příklady, k nimž přiložil správný výsledek.
Závěr: Martin počítá velice pomalu a nejistě. Chyby, kterých se dopouští, jsou zapříčiněné nezautomatizovanou násobilkou. Jediný způsob, jak chyby odstranit, je neustálé procvičování příkladů tohoto typu a automatizování spojů násobilky. I přes potíže v počítání ho hra velice zaujala.
Černý Petr (příloha 19)
Pomůcky: 9 karet s příklady a 9 karet se součiny.
Z karet, na kterých jsou napsané příklady, vybereme jednu kartu (s příkladem 9 ´ 4) a odložíme ji stranou. Karta s výsledkem (součinem) příkladu, zde číslo 36, je Černý Peter. Nyní všechny karty (s příklady i s výsledky) zamícháme a rozdáme. Pokud má hráč v ruce příklady a výsledky, které k sobě patří, odloží je stranou. Potom si jeden hráč vybere jednu kartu od spoluhráče, aniž by do jeho karet viděl. Pokud má k této kartě dvojici, může ji vyřadit a odložit. Potom se role hráčů vymění. Prohrává ten, kterému v ruce zůstala karta Černý Petr, v tomto případě karta s číslem 36.
Na kartách jsou napsány převážně příklady s násobky čísel 6, 7, 8, 9.
|
9 ´ 4 = 36 |
9 ´ 9 = 81 |
|
8 ´ 9 = 72 |
7 ´ 3 = 21 |
|
6 ´ 4 = 24 |
9 ´ 7 = 63 |
|
7 ´ 8 = 56 |
6 ´ 7 = 42 |
|
6 ´ 9 = 54 |
|
Závěr: Hra zvýšila Martinův zájem o dané učivo, i když nemalou úlohu hrála
skutečnost, že často vyhrával.
Bludiště (obr. 20) (příloha 2)
Pomůcky: Schémata bludišť.
cesta vede po násobcích čísla 7
|
obr. 20 |
Martin má v bludištích najít cestu z místa a do místa B. Vždy musí vstupovat jen na sousední políčko, a to tak, aby cesta vedla v prvním případě po násobcích čísla 4, v druhém případě po násobcích čísla 7 a v třetím případě po násobcích čísla 8.
Problém: Martin se spletl u násobků čísla 7, myslel si, že násobkem čísla 7 je číslo 45.
Matematický vetřelec (obr. 21) (příloha 4)
Pomůcky: Tabulky s čísly.
Mezi čísly v políčkách měl Martin najít ukrytého „matematického vetřelce“, to je číslo, které mezi ostatní nepatří. Martinovým úkolem bylo zjistit, které číslo to je a proč tam nepatří.
|
obr. 21 |
Problém: Číslo 54 přeškrtnul. Podle něj to není násobek čísla 9. 5 ´ 8 = 48 (45) pravděpodobně si spletl s příkladem 6 ´ 8 = 48. V tomto případě může jít o zvukovou asociaci, kdy dítě ulpívá na druhém z činitelů a podle něj určí číslici řádu jednotek součinu.
Závěr: Hry Domino a Matematický vetřelec Martina velice zaujaly a vedly ho k většímu soustředění.
5.7.4 Pamětné násobení dvojciferného čísla číslem jednociferným
Zadala jsem příklady:
34 ´ 2 = 68 počítá: (30 ´ 2) + (4 ´ 2)
25 ´ 2 = 50
25 ´ 4 = 100
34 ´ 3 = 102
Závěr: U všech příkladů využívá stejného a správného postupu.
– bez přechodu přes základ:
|
12 ´ 32 34 |
(384) |
|
|
Problém: Postupuje jako u sčítání, ale čísla mezi sebou násobí.
Martinovi jsem připomněla postup písemného násobení a příklad jsme počítali znovu společně.
|
12 ´ 32 24 36 384 |
23 ´ 21 23 46 483 |
|
|
– s přechodem přes
základ:
|
17 ´ 8 136 |
46 ´ 35 30 138 1410 |
Nenapsal číslici nejvyššího řádu. (1610) |
|
|
372 ´ 64 28 |
(23808) |
|
|
Problém: Násobí pouze jednotky jednotkami (číslem 4), pak už násobí desítkami.
Příklad nebyl schopen dopočítat, nevěděl jak dál.
Závěr:
Spoje násobení mu nedělají potíže, ale algoritmus nezvládá.
Nyní už nestačilo zopakovat postup při počítání. Musela jsem přistoupit k jednotlivým krokům, jakými bych Martina navedla na algoritmus písemného násobení.
a) Násobení čísly 10k, kde k je přirozené
číslo
5 ´ 10 = 50
12 ´ 10 = 120
24 ´ 10 = 240
24 ´ 100 = 2400
Vysvětlení: Když násobíme deseti připíšeme k násobenému číslu jednu nulu. Když násobíme stem, připíšeme dvě nuly, atd. i když Martin spočítal příklady bezchybně, přiznal se mi, že tuto pomůcku neznal.
V následující hodině jsem zadala příklady.
65 ´ 1000 = 650 (65000) „Přidám jednu nulu.“
Když jsem řekla, že to není správný výsledek, chtěl nuly ubrat,
ale pak se opravil a vypočítal příklad správně.
65 ´ 10 = 650
65 ´ 100 = 6500
Závěr: Chybné počítání je pravděpodobně ovlivněno nepozorností nebo únavou.
b) Chtěla jsem zjistit, jestli Martin umí lépe počítat
v praxi.
Pokládala jsem mu otázky:
Nakupuješ? „Ano, sám.“ Umíš si vypočítat, kolik máš zaplatit a kolik peněz ti má být vráceno?
pomůcky: modely
peněz (obr. 22) (příloha 20)
|
obr. 22 |
Koupíš 2 lízátka po 10 korunách. 10 + 10 = 20
Můžeš to vypočítat jinak? 2 ´ 10 = 20
9 balíčků sušenek po 10 korunách. 9 ´ 10 = 90
4 balíčky bonbónů po 12 korunách. 12 ´ 4 = 48 počítá: (10 ´ 4) + (2 ´ 4)
Závěr: Martin počítá správně a dokáže říct, kolik mu má být vráceno, když platí vyšší bankovkou.
c) Násobení jednociferným číslem bez přechodu
1. krok
|
12 12 12 12 48 |
23 23 23 69 |
42 42 84 |
|
2. krok – Můžeme předcházející příklady vypočítat jinak?
|
12 ´ 4 48 |
23 ´ 3 69 |
42 ´ 2 84 |
|
d) Násobení
jednociferným číslem s přechodem přes základ
|
23 ´ 4 92 |
36 ´ 2 72 |
54 ´ 6 324 |
|
|
23 ´ 9 201 |
(207) Chybně vynásobil řád jednotek. |
||
e) Násobení dvojciferným činitelem, který je násobkem čísla
10
3. krok
|
12 ´ 40 40 |
(480) |
|
|
Problém: Využívá algoritmu písemného sčítání, ale čísla mezi sebou násobí.
Počítali jsme společně.
|
12 ´ 40 00 48 400 |
(480) Počítal 8 + 0 = 0, po
upozornění se opravil. |
Vysvětlení: Není nutné násobit nulou všechna čísla, stačí ji opsat a dále násobit hned desítkami.
|
23 ´ 30 690 |
|
|
|
Tomuto postupu nevěřil, proto příklad vypočítal ještě jednou.
|
23 ´ 30 00 69 600 |
(690) Počítá 9 + 0 = 0. |
||
|
42 ´ 20 840 |
|
|
|
f) Násobení dvojciferným činitelem
4. krok
|
42 ´ 21 42 |
(882) Počítá 1 ´ 2 = 2 a 2 ´ 2 = 4. |
Počítali jsme znovu. v příkladu jsem udělala šipky, které značí postup při počítání.
|
42 ´ 21 8442 |
(882) |
|
|
Problém: Nedodržuje zásadu, že na pozici jednoho řádu můžeme zapsat pouze jednu číslici.
Závěr: Nepamatuje si algoritmus písemného násobení dvojciferným číslem.
Protože Martinovi nepomohly ani šipky, které jsem v příkladu udělala, musela jsem napsat příklady, které obsahují šipky a čtverečky (obr. 23a) (příloha 13). Každý čtvereček náleží jednomu číslu. Význam má i barevné odlišení druhého z činitelů. Červená barva je barvou jednotek a modrá barva je barvou desítek. Tyto typy příkladů Martinovi velice pomohly. Šipky ho naváděly k vynásobení všech čísel a čtverečky ho směřovaly k psaní pouze jedné číslice na místo jednoho řádu a upozorňovaly ho, kolik bude v čísle řádů.
|
|
|
|
obr. 23a |
obr. 23b |
V příloze 14 (obr. 23b) uvádím příklady pouze se čtverečky, bez barevného rozlišení. Zde už Martin musí znát správný algoritmu, ale čtverečky ho ještě stále upozorňují na psaní jedné číslice na místo jednoho řádu.
– písemné násobení
Únik z obklíčení (obr. 24) (příloha 9)
Pomůcky: Nakreslené schéma.
Martin má za úkol vynásobit čísla 37 násobky čísla 3. Pokud vypočítá vše, dostane se z obklíčení.
|
obr. 24 |
|
37 ´ 12 44 |
(444) |
|
|
Problém: Příklad chtěl opět počítat stejným postupem jako u písemného sčítání, akorát čísla mezi sebou násobil.
Hned jsem Martina zastavila a ukázala jsem příklady, které jsme počítali v příloze 13. Vzpomněl si na správný postup a už se nepletl.
|
37 ´ 15 185 48 565 |
(555) |
|
|
Problém: Polovinu příkladu násobil a polovinu sčítal.
Po znovu objasnění postupu počítal bezchybně.
Martin přišel na princip hry. Pokud násobím číslo 37 násobky čísla 3, vždy se s postupujícím násobkem zvětší v součinu každý řád čísla o jednu.
Závěr: Nechápe poziční desítkovou soustavu, algoritmy se mu pletou. Bez pochopení přenáší postupy z jednoho příkladu do druhého.
– pamětné a písemné násobení
Pyramidy (obr. 25) (příloha 6)
Pomůcky: Předkreslená schémata pyramid.
V dolní části pyramidy jsou zapsaná čísla. Každou dvojici sousedních čísel vynásobíme a jejich součin zapíšeme do čtverečku nad nimi. v násobení pokračujeme tak dlouho, dokud není pyramida postavená.
|
|
obr. 25 |
Závěr: Domnívala jsem se, že Martin bude mít s algoritmem písemného násobení potíže, ale k žádným chybám nedošlo.
– pamětné sčítání, odčítání a násobení
Větší bere (příloha 21)
Pomůcky: Karty s příklady.
Po rozdání karet si každý hráč položí svoje karty na hromádku lícem dolů. Všichni hráči otočí ze své hromádky jednu kartu. Komu vychází největší výsledek, bere si všechny otočené karty a odloží je stranou. Až hráči vyčerpají všechny karty, spočítají si ty získané. Vyhrává hráč s největším počtem karet.
|
66 – 8 |
4 ´ 7 |
44 – 7 |
56 + 9 |
|
6 ´ 7 |
9 ´ 6 |
21 – 9 |
63 + 7 |
|
7 ´ 9 |
7 ´ 8 |
32 – 4 |
42 + 9 |
|
8 ´ 6 |
73 – 5 |
88 + 6 |
77 + 9 |
|
4 ´ 8 |
91 – 3 |
24 + 7 |
16 – 9 |
|
8 ´ 9 |
82 – 5 |
96 + 8 |
39 + 7 |
Závěr: Hra byla velice úspěšná a v Martinovi vyvolala zájem o učivo.
Pomůcky: Bonbóny.
Zadala jsem úkol:
21 bonbónů chci rozdělit mezi tři děti tak, aby všechny měly stejný počet bonbónů. Jak to udělám? Martin nevěděl. Proto jsem zvolila lehčí zadání s menším počtem bonbónů. 6 bonbónů chci rozdělit mezi tři kamarády tak, aby všichni měli stejný počet bonbónů. Martin si vzal do ruky 6 bonbónů a řekl 6 ´ 2 a to se rovná 12. Položila jsem mu otázku. Kolik máš v ruce bonbónů? Odpověděl 6. Nedokázal však vysvětlit, proč počítal 6 ´ 2. Proto jsme navrhla, ať každému dává po jednom bonbónu až mu v ruce nic nezbyde. Tak jsme zjistili, že každý dostane tři bonbóny.
Když bonbóny nechceme rozdělovat po jednom, ale chceme vypočítat hned, kolik každý z kamarádů dostane bonbónů, jak to vypočítáme? Martin tvrdil, že to jde rozdělit jenom po jedné. Proto jsem mu napověděla. Co kdybychom to vydělili? Martin odpověděl 2 : 2 = 1, 2 : 2 : 2 = 2. Sama jsem řekla, že se to vypočítá 6 : 3 = 2. Martin prohlásil, že si na to nemohl vzpomenout.
Následující hodinu jsem zadala úkol:
a) 16 bonbónů rozděl po dvou. Tento příklad Martinovi nedělal problémy.
b) 16 bonbónů rozděl mezi dva kamarády .Martin začal bonbóny rozdělovat na hromádky po třech a pak po jedné.
c) Jak to uděláš, abys je nemusel takhle zdlouhavě rozdělovat, abys věděl hned, kolik jich máš každému dát. Můžeme to vypočítat? Martin vyslovil přiklad 8 ´ 8 a pak se opravil na 16 : 8. Vysvětlení ale nedokázal podat.
Domnívám se, že si v duchu vydělil 16 : 2 = 8 a nahlas řekl příklad, v kterém byl obsažen výsledek. Dávala jsem mu pak příklady s takovými čísly, u kterých bude mít obtíže vypočítat polovinu. 142 bonbónů rozděl mezi dva kamarády. Příklad nevypočítal. Pravděpodobně nebyl schopný vypočítat v duchu 142 : 2 podobně, jako v předchozím příkladu. Společně jsme tedy došli k závěru, že rozdělování po jednom není vždy vhodné. Vrátili jsme se k 16 bonbónům. Znovu jsem zadala úkol. 16 bonbónů chci rozdělit dvěma kamarádům. Martin odpověděl správně, 16 : 2. Znovu jsme si ujasnili, proč 16 vydělit dvěma. 6 bonbónů rozděl mezi nás dva. Martin hned rozdělil bonbóny po třech. Jak to vypočítáš? Odpověděl 3 ´ 2, ale neví proč. Řekl správný příklad až po nápovědě. 6 rozdělím mezi nás dva, 6 dělím mezi dva. Slyšíš operaci, kterou použiješ?
Závěr: Martin nechápe význam operace dělení.
5.8.2 Dělení v oboru násobilek do sta
48 : 6 = 8 27 : 3 = 9 63 : 7 = 9 56 : 8 = 7 49 : 7 = 7
1 : 1 = 1 4 : 1 = 4 18 : 6 = 3 30 : 5 = 6 81 : 9 = 9
45 : 5 = 9 21 : 3 = 7 5 : 0 = 0 (nulou nelze dělit)
Závěr: Martin počítá pomalu, odpočítává násobky, ale ke správnému výsledku dojde. Znovu zde platí pravidlo – neustále procvičovat. Nevěděl, že nulou nelze dělit.
– dělení v oboru do sta
Černý Petr (příloha 22)
Pomůcky: 11 karet s příklady a 11 karet s podíly.
Z karet, na kterých jsou napsané příklady, vybereme jednu kartu (s příkladem 42 : 6) a odložíme ji stranou. Karta s výsledkem (podílem) příkladu, zde s číslem 7, je Černý Peter. Nyní všechny karty (s příklady i s podíly) zamícháme a rozdáme. Pokud má hráč v ruce příklady a výsledky, které k sobě patří, odloží je stranou. Potom si jeden hráč vybere jednu kartu od spoluhráče, aniž by do jeho karet viděl. Pokud má k této kartě dvojici, může ji vyřadit a odložit. Pak se role hráčů vymění. Prohrává ten, kterému v ruce zůstala karta Černý Petr, v tomto případě karta s číslem 7.
56 : 8 = 7 48 : 8 = 6 72 : 9 = 8 24 : 3 = 8 28 : 7 = 4
32 : 8 = 4 49 : 7 = 7 54 : 6 = 9 27 : 3 = 9 24 : 4 = 6
42 : 6 = 7
Závěr: Hra se Martinovi velice líbila, ale byla pro něj obtížnější než Černý Petr na procvičování malé násobilky.
5.8.4 Dělení se zbytkem – pamětné
Pomůcky: Kartičky
s příklady (příloha 23)
Kartičky byly položené na hromádce lícem dolů. Martin je po jedné otáčel.
18 : 5 = 3
3
15 : 6 = 12 (2, zb.3) Pravděpodobně si řekl v duchu 15 : 6 = 2. Ví, že 6 ´ 2 = 12, avšak místo čísla 2 zvolil za výsledek číslo 12.
|
26 : 8 = 3 2 |
51 : 7 = 7 2 |
|
34 : 9 = 4 (3, zb. 7) |
63 : 8 = 5, 6, 9 (7, zb.7) Výsledek hádá. |
|
43 : 5 = 8 3 |
94 : 9 = 10 4 |
|
50 : 6 = 8 2 |
|
23 : 7 = 7 (3, zb.2) Tvrdí, že nejbližší číslo je 26.
2
Závěr: U některých příkladů je prakticky nemožné zjistit způsob vzniku chyby. Jedná se o „výsledky beze smyslu“. Chybných výsledků se pravděpodobně dopouští z důvodu nezautomatizované malé násobilky.
5.8.5 Písemné dělení jednociferným dělitelem bez zbytku
– dělitel je obsažen v první cifře dělence.
48 : 3 =
Nahlas řekl 3 ´ 8. Tvrdil, že začal od zkoušky. Pak ale zaváhal a počítal jinak, 4 : 8. „Napadlo mě to.“ Nevěděl, jakým způsobem má ke správnému výsledku dojít, tak jsme počítali společně.
48 : 3 = 16
18
0
Zkouška: 16 ´ 48. Pak řekl, že se spletl a zkoušku vypočítal dobře. Když jsem Martinovi vysvětlila postup při písemném dělení. Počítal bez vážných problémů.
|
84 : 6 = 14 24 0 |
zk.: 14 ´ 6 84 |
96 : 8 = 12 16 0 |
zk.: 96 : 12 = 8 |
Vysvětlení: U dělení budeme dělat zkoušku násobením, protože to je jednodušší.
Závěr: Nechápe princip zkoušky a inverznost násobení a dělení.
|
48 : 3 = 16 18 0 |
zk.: 16 ´ 3 48 |
|
|
– v první cifře dělence je obsažený dělitel větší
než jedna.
|
208 : 8 = 26 48 0 |
zk.: 26 ´ 8 208 |
96 : 3 = 32 06 0 |
zk.: 32 ´ 3 96 |
|
62 : 2 = 31 02 0 |
zk.: 31 ´ 2 62 |
84 : 4 = 21 04 0 |
zk.: 21 ´ 4 84 |
|
76 : 4 = 18 36 0 |
(19) |
zk.: 18 ´ 4 72 |
|
Závěr: Po objasnění postupu počítá dobře. Zkouška pro něj není formální záležitostí. Pomocí ní je schopen dojít ke zjištění, že příklad vypočítal chybně.
– dělitel je obsažen v prvním dvojčíslí dělence
|
102 : 6 = 17 42 0 |
zk.: 17 ´ 6 102 |
|
|
Ví, že 1 : 6 nemá řešení v oboru přirozených čísel, a proto musí zatrhnout číslo 10.
|
156 : 3 = 52 06 0 |
zk.: 52 ´ 3 156 |
144 : 6 = 24 24 0 |
zk.: 24 ´ 6 144 |
|
344 : 4 = 86 24 0 |
zk.: 86 ´ 4 344 |
294 : 7 = 42 14 0 |
zk.: 42 ´ 7 294 |
Po týdnu jsem opět zadala podobné příklady.
|
318 : 6 = 4 78 |
|
|
|
Příklad nedopočítal. Nevěděl, jak má postupovat dál, proto jsme počítali společně.
|
318 : 6 = 53 18 0 |
zk.: 53 ´ 6 318 |
356 : 4 = 89 36 0 |
zk.: 89 ´ 4 356 |
|
252 : 6 = 42 12 0 |
zk.:
252 : 42 = 6 |
|
|
Závěr: Martin zapomíná postupy, protože je nemá upevněné.
5.8.6 Písemné dělení jednociferným dělitelem se zbytkem
|
62 : 4 = 15 22 2 |
zk.: 15 ´ 4 60 |
|
|
Myslí si, že mu zkouška nevyšla, zapomíná přičíst zbytek.
|
78 : 5 = 15 28 3 |
zk.: 15 ´ 5 75 |
|
|
Opět zapomněl přičíst zbytek.
|
157 : 6 = 26 37 1 |
zk.: 26 ´ 6 156 |
156 1 157 |
|
|
432 : 7 = 61 12 5 |
zk.: 61 ´ 7 427 |
427 5 432 |
|
|
754 : 9 = 83 34 7 |
zk.: 83 ´ 9 747 |
747 7 754 |
|
5.8.7 Písemné dělení dvojciferným dělitelem
- Nejprve jsme počítali příklady, kdy je dělitel
obsažen v prvních dvou cifrách dělence jednou.
|
253 : 23 = 11 023 00 |
zk.: 11 ´ 23 33 22 253 |
lépe: 23 ´ 11 |
|
Nevěděl, jak má udělat zkoušku. Poradila jsem mu.
|
352 : 32 = 11 032 00 |
zk.: 11 ´ 32 22 33 352 |
lépe: 32 ´ 11 |
|
|
594 : 54 = 11 054 00 |
zk.: 11 ´ 54 44 55 594 |
lépe: 54 ´ 11 |
|
|
456 : 38 = 12 076 00 |
zk.: 12 ´ 38 96 36 456 |
lépe: 38 ´ 12 |
|
|
432 : 36 = 12 072 00 |
zk.: 36 ´ 12 72 36 432 |
|
|
36 a kolik je 43 – Při počítání se dívá na prsty.
|
266 : 19 = 14 076 00 |
zk.: 14 ´ 19 126 14 266 |
216 : 18 = 12 036 00 |
zk.: 12 ´ 18 96 12 216 |
|
312 : 24 = 13 72 0 |
zk.: 13 ´ 24 52 26 312 |
lépe: 24 ´ 13 |
|
– dělitel je obsažen v prvních dvou cifrách
dělence dvakrát.
|
775 : 31 = 25
155 0 |
zk.: 25 ´ 31 25 75 775 |
|
|
62 a kolik je 77 – Počítá po jedné na prstech.
– příklady s odhady částečných podílů
Postupům u předcházejících příkladů byl Martin schopen do jisté míry ještě porozumět a některé vypočítal bez mé pomoci, ale nyní se dostáváme k příkladům, které jsou nad jeho možnosti. Paní učitelka ve své třídě začala probírat novou látku, písemné dělení dvojciferným číslem, a mě požádala, abych to Martinovi vysvětlila a vypočítala s ním několik příkladů, které jsou uvedené v podkapitole 5.14. Jelikož byly příklady z pracovního sešitu těžké a Martin nebyl schopen je bez mé pomoci vypočítat, vypracovala jsem tři kroky, kterými jsem chtěla procvičit problematické úseky těchto příkladů, což byly odhady částečných podílů.
1.krok
180 : 20 = 90 (9)
00
0
Škrtnul nejprve obě nuly, ale pak s nimi opět počítal, 0 : 2 = 0.
120 : 60 = 20 (2)
00
0
Udělal stejnou chybu jako v předcházejícím příkladu.
2.krok – přípravný příklad
182 : 20 = 9
02
Chtěl škrtat nulu, ale nevěděl proč.
128 : 60 = 2